Con frecuencia surge la necesidad de evaluar la integral definida de una función que no tiene una antiderivada explícita, o cuya antiderivada tiene valores que no son fácilmente obtenibles.
El método básico involucrado para aproximar cualquier función a su integral se conoce como cuadratura numérica y se usa una sumatoria de la función evaluada en un intervalo.
Los métodos de integración numérica se pueden utilizar para integrar funciones dadas, ya sea mediante una tabla o en forma analítica. Incluso en el caso en que sea posible la integración analítica, la integración numérica puede ahorra tiempo y esfuerzo si sólo se desea conocer el valor numérico de la integral.
Los métodos de integración numérica se obtienen al integrar los polinomios de interpolación.
Por consiguiente, las distintas fórmulas de interpolación darán por resultado distintos métodos de integración numérica.
Los métodos que se estudiarán se refieren a las fórmulas de Newton-Cotes, que se basan en las fórmulas de interpolación con puntos de separación constantes y se deducen de integrar las fórmulas de interpolación de Newton, así como la fórmula de interpolación de Lagrange.
5.1 DERIVACIÓN NUMÉRICA.
Consideremos una función f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores (x0, f0), (x1, f1),...,(xn, fn). El problema que vamos a abordar es el de calcular la derivada de la función en un punto x que en principio no tiene por qué coincidir con alguno de los que figuran en los datos de que disponemos. La forma más sencilla de resolver el problema de la diferenciación numérica consiste en estimar la derivada utilizando fórmulas obtenidas mediante la aproximación de Taylor, que se denominan fórmulas de diferencias finitas. Es importante tener en cuenta que el proceso de diferenciación numérica es inestable. Los errores que tengan los datos, por ejemplo los cometidos en la adquisición de los mismos o los debidos al redondeo aumentan en el proceso de diferenciación como veremos a lo largo de éste capítulo.
Fórmulas de diferencias de dos puntos
Este proceso de paso al límite presenta distintos problemas para ser realizado en situaciones prácticas donde no se conozca la forma explícita de f′(x). En primer lugar un límite no puede calcularse de modo aproximado en un computador donde los números que se manejan son finitos. A pesar de todo es de esperar que si la función f(x) no se comporta mal y h0 es un número finito pero pequeño se cumpla:
Es más, la misma definición de la derivada implica que si f′(x) existe, entonces hay algún h0 a partir del cual nuestra aproximación dista menos de una cantidad δ del valor real para la derivada. El problema es que esto sólo es cierto con precisión infinita ya que h0 puede ser tan pequeño que no pueda representarse en el ordenador o que la diferencia f(x + h0) − f(x) esté seriamente afectada por el error de redondeo.
La ecuación (2.1) es la forma más sencilla de aproximar una derivada conocidas f(x) y f(x+h0). El siguiente teorema nos proporciona información sobre la precisión de esta aproximación.
Teorema. Sea f(x) ∈ C1 (a, b) y existe f′′(x) en (a, b), entonces se cumple que:
Demostración. Escribamos la aproximación de Taylor para la función en un punto x+h:
Reordenando la expresión anterior queda demostrado el teorema.
El teorema anterior nos indica que el error cometido al aproximar la derivada primera por su fórmula de diferencia adelantada es una función lineal de h. Cuanto menor sea h (o sea al tomar valores de f(x) más cercanos) la derivada numérica será más precisa. Este error se denomina error de truncación o discretización y puede acotarse fácilmente, obteniéndose que: E ≤![]()
máx(x,x+h) |f′′(z)|. En realidad, para datos obtenidos a partir de una tabla esta acotación no es de gran utilidad directa ya que si no se conoce la derivada primera menos aún se conocerá la segunda pero al menos nos permite conocer el orden de aproximación de la fórmula.
Geométricamente el error O(h) procede del hecho de aproximar la derivada por la pendiente de la cuerda que une los puntos f(x) y f(x + h), Por otro lado, si existe la derivada deben existir las derivadas laterales y entonces
El teorema anterior nos indica que el error cometido al aproximar la derivada primera por su fórmula de diferencia adelantada es una función lineal de h. Cuanto menor sea h (o sea al tomar valores de f(x) más cercanos) la derivada numérica será más precisa. Este error se denomina error de truncación o discretización y puede acotarse fácilmente, obteniéndose que: E ≤
Geométricamente el error O(h) procede del hecho de aproximar la derivada por la pendiente de la cuerda que une los puntos f(x) y f(x + h), Por otro lado, si existe la derivada deben existir las derivadas laterales y entonces
Un problema que presenta esta fórmula es que la precisión de la misma es baja y por lo tanto en situaciones donde sólo dispongamos de un muestreo de baja precisión de f(x), como ocurre en ensayos, datos experimentales, etc., será conveniente utilizar otras fórmulas de derivación más precisas.
Fórmulas de orden superior
El error de truncación de la fórmula de diferencia adelantada de dos puntos varía linealmente con h, de manera que es necesario usar valores de h muy pequeños para reducir suficientemente los errores de truncación. Es posible deducir fórmulas para las derivadas con errores de truncación más pequeños. Por ejemplo, tomemos
donde z1 ∈ (x, x + h) y z2 ∈ (x − h, x). Restando (2.1a) y (2.1a) obtenemos
que nos proporciona una siguiente aproximación para la derivada con un término de error de truncación que depende cuadráticamente de h. Usando el teorema del valor intermedio f′′′(z) = (f′′′(z1) + f′′′(z2))/2, y entonces, si f es suficientemente derivable.
Usando los desarrollos de Taylor de f(x+h) y f(x+2h) se encuentra la llamada fórmula de diferencia adelantada de tres puntos que es:
Reemplazando h por −h en (2.3) obtenemos una fórmula de diferencias retrasadas de tres puntos
De todas estas, la fórmula de diferencia centrada es la que tiene, en principio, menor error de truncación y la que requiere menos evaluaciones de la función, siendo por lo tanto más eficiente desde el punto de vista computacional.
Utilizando el valor de la función en más puntos se construyen fórmulas más precisas para las derivadas. Alguna de ellas se muestra en la tabla siguiente junto con las que hemos deducido ya.
Utilizando el valor de la función en más puntos se construyen fórmulas más precisas para las derivadas. Alguna de ellas se muestra en la tabla siguiente junto con las que hemos deducido ya.
Derivadas de orden superior
El mismo procedimiento que se ha seguido al deducir fórmulas para calcular numérica- mente las derivadas primeras puede usarse para construir derivadas de orden superior partiendo del desarrollo de Taylor y eliminando las derivadas primeras. Consideremos por ejemplo las expresiones:
Sumando las ecuaciones anteriores y despejando se encuentra que:
Procediendo de la misma forma es posible encontrar aproximaciones que usen diferentes puntos y aproximaciones para derivadas de orden superior. La tabla siguiente presenta algunas de las fórmulas más comunes para calcular derivadas de orden superior.
5.2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA: MÉTODO DEL TRAPECIO
MÉTODOS DE SIMPSON 1/3 Y 3/8.
En los cursos de Cálculo Integral, nos enseñan como calcular una integral definida de una función continua mediante una aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo:
Teorema Fundamental del Cálculo
Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) una anti derivada de f(x). Entonces:
El problema en la práctica, se presenta cuando nos vemos imposibilitados de encontrar la antiderivada requerida, aún para integrales aparentemente sencillas como:
la cual simplemente es imposible de resolver con el Teorema Fundamental del Cálculo.
REGLA DEL TRAPECIO
Corresponde al caso donde n=1 , es decir :
| x | a | b |
| y | f(a) | f(b) |
sabemos que este polinomio de interpolación es:
Integrando este polinomio, tenemos que:
Que es la conocida Regla del Trapecio. Este nombre se debe a la interpretación geométrica que le podemos dar a la fórmula. El polinomio de interpolación para una tabla que contiene dos datos, es una línea recta. La integral, corresponde al área bajo la línea recta en el intervalo [a,b], que es precisamente el área del trapecio que se forma.
REGLA DE SIMPSON DE UN TERCIO
Suponemos que tenemos los datos:
| a | xm | b |
| f(a) | f(xm) | f(b) |
donde xm es el punto medio entre a y b.
En este caso se tiene que:
Donde f2(x) es el polinomio de interpolación para los datos en la tabla anterior. Usaremos el polinomio de LaGrange. Así, tenemos que:
Si denotamos h= (b-a)/2 = xm-a = b-xm, entonces:
Simplificando términos:
Vemos que cada uno de los términos anteriores, es esencialmente de la misma forma, es decir, una constante por (x-α)(x-β).
Así, calculamos la siguiente integral por partes:
Obteniendo, por lo tanto,
Debido al factor h/3 se le conoce como la regla de Simpson de un tercio.
En la práctica, sustituimos el valor de h = (b-a)/ 2 para obtener nuestra fórmula final:
Usamos esta fórmula para calcular la integral de cada uno de los tres términos de f2(x) y obteniendo como resultado final
REGLA DE SIMPSON DE TRES OCTAVOS
Este caso corresponde a n=3 , es decir,
donde f3(x) es un polinomio de interpolación para los siguientes datos: Este caso corresponde a n=3 , es decir,
| x0 | x1 | x2 | x3 |
| f(x0) | f(x1) | f(x2) | f(x3) |
Igual que en el caso anterior, se usa el polinomio de interpolación de Lagrange, y usando el método de integración por partes se llega a la siguiente fórmula:
5.3 INTEGRACIÓN CON INTERVALOS DESIGUALES.
Cuando la longitud de los subintervalos no es igual, se usa una combinación de la regla Trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando seguir el siguiente orden jerárquico:
1 .- Simpson 3/8
Esta se aplica, si contamos con 4 puntos igualmente espaciados.
2 .- Simpson 1/3
Esta se aplica si falla (1) y contamos con 3 puntos igualmente espaciados.
3 .- Regla Trapezoidal
Solo se aplica si no se cumple (1) y (2)
Ejemplo
Evaluar
1
usando la siguiente tabla:| x | 0 | 0.1 | 0.3 | 0.5 | 0.7 | 0.95 | 1.2 |
| f(x) | 0 | 6.84 | 4 | 4.2 | 5.51 | 5.77 | 1 |
Solución.
Vemos que en el intervalo [0,0.01] podemos aplicar la regla del trapecio, en el intervalo [0.1,0.7] la regla de Simpson de 3/8 y en el intervalo [0.7,1.2] la regla de Simpson de 1/3. Así, tenemos las siguientes integrales:
Vemos que en el intervalo [0,0.01] podemos aplicar la regla del trapecio, en el intervalo [0.1,0.7] la regla de Simpson de 3/8 y en el intervalo [0.7,1.2] la regla de Simpson de 1/3. Así, tenemos las siguientes integrales:
5.4 APLICACIONES INTEFRACCION.
· Método del trapecio
Ejemplo 1:
Utilizar la regla del trapecio para aproximar la integral:
Ejemplo 1:
Utilizar la regla del trapecio para aproximar la integral:
Solución.Usamos la fórmula directamente con los siguientes datos:
Por lo tanto tenemos que:
Solución.
Aplicamos la fórmula directamente, con los siguientes datos:
· Método de Simpson 1/3
Ejemplo 1.Usar la regla de Simpson de 1/3 para aproximar la siguiente integral:
Ejemplo 1.Usar la regla de Simpson de 1/3 para aproximar la siguiente integral:
Aplicamos la fórmula directamente, con los siguientes datos:
Por lo tanto, tenemos que:
· Método de Simpson 3/8
Ejemplo 1.
Aproximar la siguiente integral:
Al considerar los puntos que dividen en tres partes iguales a cada subintervalo, tenemos los siguientes datos:
· Método de Simpson 3/8
Ejemplo 1.
Aproximar la siguiente integral:
aplicando la regla de Simpson de 3/8, y subdiviendo en 3 intervalos.
Solución
Identificamos n=3 y la partición correspondiente:
Solución
Identificamos n=3 y la partición correspondiente:
Sustituyendo todos los datos en la fórmula, obtenemos:
De acuerdo a los ejemplos vistos, resulta evidente que la regla de Simpson de 3/8, es más exacta que la de 1/3 y a su vez, ésta es más exacta que la regla del trapecio. En realidad, pueden establecerse cotas para los errores que se cometen en cada uno de estos métodos.
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