6.- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

6.1 Fundamento de ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

• Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

• Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Tipos de solución:

· Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de Y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

· Solución particular: Si fijando cualquier punto P(Xo,Yo) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(Xo,Yo), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

· Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

· Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales:

Presentar el estudio de los conceptos de derivadas, integrales y ecuaciones diferenciales de una manera ENTENDIBLE desde el punto de vista operativo en un 90% es decir, de resolución de problemas clásicos tratados en la mayoría de las universidades de México y posiblemente de Latinoamérica. El curso sólo tendrá algunas cuestiones teóricas porque quiero suplir la necesidad de Aprender a Resolver Problemas De Aplicaciones. Aplicación explícita, en el que uno plantea una ecuación en términos matemáticos indicando y=a·x + b, no sé, pero en la vida cotidiana estamos rodeados de aplicación de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas de la forma:


Donde aij son los coeficientes, xi las incógnitas y bi son los términos independientes.



Representación matricial

El anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:


De modo simplificado suele escribirse Am,n · Xn,1 = Bm,1 , donde la matriz A de orden m x n se denomina matriz de coeficientes.
También usaremos la matriz ampliada, que representaremos por A', que es la matriz de coeficientes a la cual le hemos añadido la columna del término independiente:

6.2 Métodos de un paso: Método de Euler, Método de Euler mejorado y Método de Runge-Kutta.

Método de Euler.

Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca.

Ya que esto se puede representar mediante la síguete grafica la cual se mostrara a continuación:

Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler, o de las rectas tangentes.  Donde en ella podemos representar diferentes tipos de tangente, así es como se va calculando este método.

Método de Runge-Kutta.

El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias

Los métodos de Runge-Kutta gran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación:

Una fuente fundamental de error en el método de Euler es que la derivada al principio del intervalo se supone que se aplica a través del intervalo entero. Existen dos modificaciones simples para ayudar a evitar este inconveniente. Las modificaciones en realidad pertenecen a una clase mayor de métodos de solución llamados métodos deRunge-Kutta. Sin embargo ya que tiene una interpretación grafica sencilla, se presentantes de la derivación formal de los métodos de Runge-Kutta. Para corregir estas deficiencias se plantean primero el método de Heun y posteriormente los métodos deRunge-Kutta

6.3 Métodos de pasos multiples

 Métodos de pasos múltiples.

Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. La curvatura de las líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso.

Esto lo podemos demostrar mediante las siguientes graficas.

6.4 Aplicaciones a la ingeniería.

Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario

Considere una pieza de material de longitud indefinida acotada por dos planos paralelos A y B, como muestra la figura a.1. Asuma que el material es uniforme en todas sus propiedades, por ejemplo, calor especifico, densidad, etc. Supóngase que los planos A y B se mantienen a 50°C y 100°C, respectivamente. Todo punto en la región entre A y B alcanza cierta temperatura que no cambia posteriormente. Así todos los puntos en el plano C en la mitad entre A y B estarán a 75°C; el plano E a 90°C. Cuando la temperatura en cada punto de un cuerpo no varia con el tiempo, decimos que prevalecen las condiciones de estado estacionario o que tenemos un flujo de calor en estado estacionario.

Ejemplo:

Un tubo largo de acero de conductividad térmica k = 015 unidades cgs, tiene un radio interior de 10 cm y un radio exterior de 20 cm. La superficie interna se mantiene a 20°C y la superficie exterior se mantiene a 50°C. (a) Encuentre la temperatura como una función de la distancia r del eje como de los cilindros concéntricos. (b) Encuentre la temperatura cuando r = 15 cm y (c) ¿Cuanto calor se pierde por minuto en la parte del tubo de 20m de largo?

Formulación Matemática:

Sabemos que las superficies isotérmicas son cilindros concéntricos con los cilindros dados. El área de tal superficie con radio r y longitud l es 2.rl. La distancia dn en este caso dr. Así, la ecuación q = - KA dU/dn puede escribirse como: q = - K(2.rl) dU/dr.

Puesto que K = 0.15, l = 20 m = 2000 cm, tenemos que:

q = - 600.r dU/dr.

De esta ultima ecuación, q es por supuesto una constante. Las condiciones son U = 200°C en r = 10, U = 50°C en r = 20

solución:

Separando las variables en q = - 600.r dU/dr. e integrando se obtiene:

-600.U = q ln r + c

Usando las condiciones U = 200°C en r = 10, U = 50°C en r = 20 tenemos - 600. (200) = q ln 10 + c, -600. (50) = q ln 20 + c de donde obtenemos q = 408.000, c = 1.317.000. Por tanto, de - 600.U = q ln r + c encontramos que U = 699 - 216 ln r.

Si r = 15, encontramos por sustitución que U = 114°C. Del valor anterior de q, el cual está en calorías por segundo, es claro que la respuesta a la parte (c) es Q= 408.000 x 60cal/min. = 24.480.000cal/min.

5.- Derivación e Integración Numerica

Con frecuencia surge la necesidad de evaluar la integral definida de una función que no tiene una antiderivada explícita, o cuya antiderivada tiene valores que no son fácilmente obtenibles.

El método básico involucrado para aproximar cualquier función a su integral se conoce como cuadratura numérica y se usa una sumatoria de la función evaluada en un intervalo.

Los métodos de integración numérica se pueden utilizar para integrar funciones dadas, ya sea mediante una tabla o en forma analítica. Incluso en el caso en que sea posible la integración analítica, la integración numérica puede ahorra tiempo y esfuerzo si sólo se desea conocer el valor numérico de la integral.

Los métodos de integración numérica se obtienen al integrar los polinomios de interpolación.

Por consiguiente, las distintas fórmulas de interpolación darán por resultado distintos métodos de integración numérica.

Los métodos que se estudiarán se refieren a las fórmulas de Newton-Cotes, que se basan en las fórmulas de interpolación con puntos de separación constantes y se deducen de integrar las fórmulas de interpolación de Newton, así como la fórmula de interpolación de Lagrange.

5.1 DERIVACIÓN NUMÉRICA.

Consideremos una función f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores (x₀, f0), (x₁, f₁),...,(x_n, f_n). El problema que vamos a abordar es el de calcular la derivada de la función en un punto x que en principio no tiene por qué coincidir con alguno de los que figuran en los datos de que disponemos. La forma más sencilla de resolver el problema de la diferenciación numérica consiste en estimar la derivada utilizando fórmulas obtenidas mediante la aproximación de Taylor, que se denominan fórmulas de diferencias finitas. Es importante tener en cuenta que el proceso de diferenciación numérica es inestable. Los errores que tengan los datos, por ejemplo los cometidos en la adquisición de los mismos o los debidos al redondeo aumentan en el proceso de diferenciación como veremos a lo largo de éste capítulo.

Fórmulas de diferencias de dos puntos

Este proceso de paso al límite presenta distintos problemas para ser realizado en situaciones prácticas donde no se conozca la forma explícita de f′(x). En primer lugar un límite no puede calcularse de modo aproximado en un computador donde los números que se manejan son finitos. A pesar de todo es de esperar que si la función f(x) no se comporta mal y h0 es un número finito pero pequeño se cumpla:

Es más, la misma definición  de la derivada implica que si f′(x) existe, entonces hay algún h0 a partir del cual nuestra aproximación dista menos de una cantidad δ del valor real para la derivada. El problema es que esto sólo es cierto con precisión infinita ya que h0 puede ser tan pequeño que no pueda representarse en el ordenador o que la diferencia f(x + h0) − f(x) esté seriamente afectada por el error de redondeo.

La ecuación (2.1) es la forma más sencilla de aproximar una derivada conocidas f(x) y  f(x+h0). El siguiente teorema nos proporciona información sobre la precisión de esta aproximación.

Teorema. Sea f(x) ∈ C¹ (a, b) y existe f′′(x) en (a, b), entonces se cumple que:

Demostración. Escribamos la aproximación de Taylor para la función en un punto x+h:

Reordenando la expresión anterior queda demostrado el teorema.
El teorema anterior nos indica que el error cometido al aproximar la derivada primera por su fórmula de diferencia adelantada es una función lineal de h. Cuanto menor sea h (o sea al tomar valores de f(x) más cercanos) la derivada numérica será más precisa. Este error se denomina error de truncación o discretización y puede acotarse fácilmente, obteniéndose que: E ≤  máx(_x,x+h) |f′′(z)|. En realidad, para datos obtenidos a partir de una tabla esta acotación no es de gran utilidad directa ya que si no se conoce la derivada primera menos aún se conocerá la segunda pero al menos nos permite conocer el orden de aproximación de la fórmula.
Geométricamente el error O(h) procede del hecho de aproximar la derivada por la pendiente de la cuerda que une los puntos f(x) y f(x + h), Por otro lado, si existe la derivada deben existir las derivadas laterales y entonces

Un problema que presenta esta fórmula es que la precisión de la misma es baja y por lo tanto en situaciones donde sólo dispongamos de un muestreo de baja precisión de f(x), como ocurre en ensayos, datos experimentales, etc., será conveniente utilizar otras fórmulas de derivación más precisas.

Fórmulas de orden superior

El error de truncación de la fórmula de diferencia adelantada de dos puntos varía linealmente con h, de manera que es necesario usar valores de h muy pequeños para reducir suficientemente los errores de truncación. Es posible deducir fórmulas para las derivadas con errores de truncación más pequeños. Por ejemplo, tomemos

donde z₁ ∈ (x, x + h) y z₂ ∈ (x − h, x). Restando (2.1a) y (2.1a) obtenemos

que nos proporciona una siguiente aproximación para la derivada con un término de error de truncación que depende cuadráticamente de h. Usando el teorema del valor intermedio f′′′(z) = (f′′′(z₁) + f′′′(z₂))/2, y entonces, si f es suficientemente derivable.

Usando los desarrollos de Taylor de f(x+h) y f(x+2h) se encuentra la llamada fórmula de diferencia adelantada de tres puntos que es:

Reemplazando h por −h en (2.3) obtenemos una fórmula de diferencias retrasadas de tres puntos

De todas estas, la fórmula de diferencia centrada es la que tiene, en principio, menor error de truncación y la que requiere menos evaluaciones de la función, siendo por lo tanto más eficiente desde el punto de vista computacional.
Utilizando el valor de la función en más puntos se construyen fórmulas más precisas para las derivadas. Alguna de ellas se muestra en la tabla siguiente junto con las que hemos deducido ya.

Derivadas de orden superior

El mismo procedimiento que se ha seguido al deducir fórmulas para  calcular  numérica- mente  las derivadas  primeras  puede usarse  para  construir derivadas  de orden  superior partiendo del  desarrollo  de Taylor  y eliminando  las derivadas  primeras.  Consideremos por ejemplo las expresiones:

Sumando las ecuaciones anteriores y despejando  se encuentra que:

Procediendo  de la misma forma es posible encontrar aproximaciones que usen diferentes puntos y aproximaciones para  derivadas  de orden superior.  La tabla siguiente presenta algunas de las fórmulas más comunes para  calcular  derivadas  de orden superior.

5.2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA: MÉTODO DEL TRAPECIO

MÉTODOS DE SIMPSON 1/3 Y 3/8.

En los cursos de Cálculo Integral, nos enseñan como calcular una integral definida de una función continua mediante una aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo: 

Teorema Fundamental del Cálculo

Sea  f(x) una función continua en el intervalo  [a,b] y sea  F(x) una anti derivada de f(x). Entonces: 

El problema en la práctica, se presenta cuando nos vemos imposibilitados de encontrar la antiderivada requerida, aún para integrales aparentemente sencillas como: 

 la cual simplemente es imposible de resolver con el Teorema Fundamental del Cálculo.  

 REGLA DEL TRAPECIO 

Corresponde al caso donde  n=1 ,  es decir  :  

x	a	b
y	f(a)	f(b)

sabemos que este polinomio de interpolación es:

Integrando este polinomio, tenemos que:

Que es la conocida Regla del Trapecio. Este nombre se debe a la interpretación geométrica que le podemos dar a la fórmula. El polinomio de interpolación para una tabla que contiene dos datos, es una línea recta. La integral, corresponde al área bajo la línea recta en el intervalo [a,b], que es precisamente el área del trapecio que se forma.

REGLA  DE  SIMPSON  DE  UN  TERCIO

Suponemos que tenemos los datos:  

a	xm	b
f(a)	f(xm)	f(b)

donde x_m  es el punto medio entre a y b. 

En este caso se tiene que:

Donde f₂(x) es el polinomio de interpolación para los datos en la tabla anterior. Usaremos el polinomio de LaGrange. Así, tenemos que:

Si denotamos h= (b-a)/2 = x_m-a = b-x_m, entonces: 

Simplificando términos:  

Vemos que cada uno de los términos anteriores, es esencialmente de la misma forma, es decir, una constante por  (x-α)(x-β).

Así, calculamos la siguiente integral por partes:

Obteniendo, por lo tanto, 

Usamos esta fórmula para calcular la integral de cada uno de los tres términos de  f₂(x) y obteniendo como resultado final

Debido al factor  h/3 se le conoce como la regla de Simpson de un tercio. 

 En la práctica, sustituimos el valor de h = (b-a)/ 2  para obtener nuestra fórmula final: 

REGLA  DE  SIMPSON DE TRES OCTAVOS 
Este caso corresponde a n=3 , es decir,

donde  f₃(x) es un polinomio de interpolación para los siguientes datos: 

x0	x1	x2	x3
f(x0)	f(x1)	f(x2)	f(x3)

  Y donde  a= x₀, b= x₃ y x₁, x₂ son los puntos que dividen en tres partes iguales al intervalo  [a,b].

Igual que en el caso anterior, se usa  el polinomio de interpolación de Lagrange, y usando el método de integración por partes se llega a la siguiente fórmula:

  donde h = (b-a) / 3  . Debido al factor 3h / 8   es que se le dio el nombre  de Regla de Simpson de 3/8. En la práctica, se sustituye el valor de h para obtener: 

5.3 INTEGRACIÓN CON INTERVALOS DESIGUALES.

Cuando la longitud de los subintervalos no es igual,  se usa una combinación de la regla Trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando seguir el siguiente orden jerárquico: 

1 .- Simpson  3/8

        Esta se aplica, si contamos con  4  puntos igualmente espaciados. 

2 .-  Simpson   1/3 

        Esta   se    aplica   si  falla  (1)  y   contamos  con 3  puntos   igualmente espaciados. 

3 .-  Regla Trapezoidal      

        Solo se aplica  si no se cumple  (1) y  (2)  

Ejemplo 

Evaluar 

1

usando la siguiente tabla:

x	0	0.1	0.3	0.5	0.7	0.95	1.2
f(x)	0	6.84	4	4.2	5.51	5.77	1

Solución.
Vemos que en el intervalo [0,0.01] podemos aplicar la regla del trapecio, en el intervalo [0.1,0.7] la regla de Simpson de 3/8 y en el intervalo [0.7,1.2] la regla de Simpson de 1/3. Así, tenemos las siguientes integrales:

Finalmente, la integral buscada es la suma de las tres integrales anteriores:

 5.4 APLICACIONES INTEFRACCION.

·         Método del trapecio
Ejemplo  1: 
Utilizar la regla del trapecio para aproximar la integral: 

Solución.Usamos la fórmula directamente con los siguientes datos:  

   Por lo tanto tenemos que: 

·         Método de Simpson 1/3
Ejemplo 1.Usar la regla de Simpson de 1/3 para aproximar la siguiente integral:  

Solución.
Aplicamos la fórmula directamente, con los siguientes datos:  

Por lo tanto, tenemos que: 

 ·         Método de Simpson 3/8
Ejemplo 1.
Aproximar la siguiente integral: 

aplicando la regla de Simpson de 3/8, y subdiviendo en 3 intervalos. 
Solución
Identificamos  n=3 y la partición correspondiente: 

Al considerar los puntos que dividen en tres partes iguales a cada subintervalo, tenemos los siguientes datos: 

Sustituyendo todos los datos en la fórmula, obtenemos:  

De acuerdo a los ejemplos vistos, resulta evidente que la regla de Simpson de 3/8, es más exacta que la de 1/3 y a su vez, ésta es más exacta que la regla del trapecio. En realidad, pueden establecerse cotas para los errores que se cometen en cada uno de estos métodos.